线性化方法

常用非线性回归模型中一些初等函数模型其本质上是线性回归模型。线性化方法，即抓住这类非线性回归模型的线性化本质，通过一定的数学处理或变量代换将其线性化，以便按照线性模式求得参数并得出最终预测模式的一类方法。 常见的几种初等函数回归模型及其图象和线性化方法归纳如下： （一）幂函数曲线预测模型 模型形式为：y＝αxb （α ＞ 0）其图象如图6—1。y＝αxb 图6—1幂函数图象对幂函数两边取对数得 ln y＝lnα＋blnx 令y′＝lny，b0＝lnα， x′＝lnx，则幂函数线性化为 y′＝b0＋bx′只需注意将原数据点（xi，yi）对应改变为（lnxi，lnyi），即可按一元线性回归最小二乘法参数计算公式估计参数b0和b。按α＝eb0求得α，模型还原为非线性形式。 （二）指数函数曲线预测模型 模型形式为 y＝αbx （α＞0，b ＞0，b≠1） 其图象如图6—2。图6—2 对指数函数两边取对数得 ln y＝lnα＋xlnb令y′＝lny，b0＝lnα，b1＝lnb，则指数函数线性化为 y′ ＝ b0＋b1x 将原数据点（xi，yi）对应改变为（xi, lnyi），即可按一元线性回归法估计参数b0、b1，而α＝eb0,b＝eb1。 （三）对数函数曲线预测模型 模型形式为： y＝α＋blnx其图象如图6—3。图6—3 令x′＝lnx，则模型线性化为 y＝α＋bx′只须将原数据点（xi，yi）对应改变为（lnxi，yi），即可按一元线性回归法估计参数a、b。 （四）双曲线预测模型 模型形式为： y＝a＋b/x其图象如图6—4。图6—4只须令x′＝1/x，则模型线性化为y＝a＋bx′。将原数据点（xi，yi）对应改变为（1/xi，yi）即可按一元线性回归法估计参数a、b。 （五）S型曲线预测模型 模型形式为y＝1/a＋be－x（a＞0）（b＞0）其图象如图6—5。对该模型两边取倒数得：1/y＝a＋be－x令y′＝1/y，x′＝e－x,则模型线性化为：y′＝a＋bx′。将原数据点（xi,yi）对应改为（e－xi,1/yi），即可按一元线性回归法估计出参数a、b。图6—5